商高定理一般而言，西方國家都用「畢達哥拉斯定理」(Pythagorean Theorem)此名稱。在我國，有時簡稱其為「畢氏定理」，有時亦用「商高定理」、「勾股定理」「勾股弦定理」、或「陳子定理」等名稱。這個定理名稱之所以如此多元化，實有其歷史的淵源。

西方國家普遍相信「畢氏定理」是於公元前560年到公元前480年間由畢達哥拉斯發現的，或者至少是由他證明的。然而，近代數學史家對這個推論表示存疑(梁，民84)。目前已有明確的證據顯示，畢達哥拉斯數(滿足之整數)的出現年代比畢達哥拉斯活著的年代早了一千多年。在1945年Neugebauer等人詮釋了一塊巴比倫泥板，發現巴比倫人在約公元前1900-1600年時已經知道至少15組 畢達哥拉斯數。這塊泥板是由普林頓(G.A.Plimpton)收藏的第322號泥板，目前存放在哥倫比亞大學。雖然有許多證據顯示 畢達哥拉斯並非此定理的創始者，然而因為早期許多哲學家、數學史家等推斷畢達哥拉斯發現了這個定理，故冠以「畢達哥拉斯定理」之石，許多人已經習慣了這個名稱，是以此名稱仍沿用至今。

到底畢達哥拉斯有沒有發現這個定理呢?因為畢氏曾到過巴比倫，有可能是由那兒學來的。而由畢氏欣喜若狂的情形來看，也有可能是他自己發現的，或是找到了證明的方法。所以，畢達哥拉斯是否發現此定理，目 前並無定論(梁，民84)。

在我國，有關「商高定理」的記載，最早出現在(周 算經)的趙君卿注中。捲上一開始就敘述了如下的 一段:「昔者周公問於商高曰，竊聞乎大夫善數也，請問古者包犧接立周天曆度，夫天不可階而升，地不得尺寸而度，請問數安從出，商高曰數之法出於圓方，圓出於方，才出於矩，矩出於九九八十一，故折矩，以為句廣三，股四，逕隅五，既方之外半其一矩，環而其盤得三四五，兩矩共長二十有五是謂積矩，故禹之所以治天下者，此數之所生也，…」。由上述可知．， 商高(西周時大夫，約公元前1100年)已提到句(讀同勾)三、股四、弦五。且商高認為早在禹垂治天下(治水)時即利用了這個性質。因為商高所提到的句三、股四、弦五是我國最早有關「商高定理」的記載，故有些人認為此定理應稱為「商高定理」。

然而商高所提到的是一個特別的直角三角形之邊長關係，即連長為3,4,5的直角三角形其邊長的關係滿足3'+4'=5'。但是並無觸及一般性的「商高定理」。有關一般性「商高定理」的最早記載出現在(周0算鏗)中對於陳子的敘述。在文中有一段如下的描述:「昔者榮方問於陳子 ，曰今者竊聞夫子之道，知日之高大，光之所照，一日所行，遠近之數。人所望見，四極之窮，列星之宿，若求邪至日者，以日下為句，高為股，句股各自乘，並而開方除之，得邪至日，從畢所旁至日所十萬里。」這段敘述除了指出三角測量的方法外，並提到「商高定理」的一般性原則「句股各自乘，並而開方除之」。因為這段敘述，所以有人認為此定理應稱為「陳子定理」。

也有一些人認為不知到底是由誰最先發現此定理，故不如避開人名，直接以「勾股弦定理」稱之，而有勾股必有弦，故亦稱為「勾股定理」。

內容

一般而言對於「商高定理」有三種不同的表達方式(梁，民84):「在直角三角形斜邊上的正方形等於直角邊上的兩個正 方形。

在此，「等於」意指「拼補相等」，所謂拼補相等指的是將直角邊上的兩個正方形經過剖分，再合併拼湊成斜邊上的正方形而言。此種說法，完全沒有從面積或數的觀點出發，而是只考慮圖形經過切割拼湊後的全等問題。為了區別於別種不同思維下的「商高定理」，也有學者專家稱此為「形的勾股定理」。

2﹒直角三角形直角邊上的兩個正方形面積之和等於斜邊上正方形的面積。雖然我們常用數量相等來表示面積相等的概念， 但是，面積是幾何概念，且不一定要用數的計算才能判定面積的相等。所以，此種「商高定理」的概念可以說介於純粹的形及純粹的數之間。

3﹒直角三角形斜邊長度的平方等於兩個直角邊長度平方和

這種「商高定理」強調長度的平方，並未涉及長度平方所代表的幾何意義。較強調單純的數的運算，故亦有人稱其為「數的勾股定理」證明「畢氏定理」的證明方法有許多種，目前已知有人收集到約370種之多(梁，民84;曹，民85)。這些證明，有些可以看成很嚴密的證明，有些也可看成是「拼補相等」的證明。茲舉下列數例簡述之:「幾何原本的證明(第一卷命題47)(梁，民84; Euclid.1992):

商高，為西周初數學家。商高在西元前1000年發現畢氏定理的一個特例：勾三，股四，弦五。此發現早于畢達哥拉斯定理五百到六百年。畢氏定理是中國數學家的獨立發明，在中國早有記載。
約與周公旦同時期人。在西元前1000年發現畢氏定理的一個特例：勾三，股四，弦五。早于畢達哥拉斯定理五百到六百年。
數學成就據《周髀算經》記載，主要有三方面：畢氏定理、測量術和分數運算。《周髀算經》中記載了這樣一件事——一次周公問商高：古時作天文測量和訂立曆法，天沒有臺階可以攀登上去，地又不能用尺寸去測量，請問數是怎樣得來的？商高回答說：數是根據圓和方的道理得來的，圓從方來，方又從矩來。矩是根據乘、除計算出來的。這裡的“矩”原是指包含直角的作圖工具。這說明了“勾股測量術”，即可用3∶4∶5的辦法來構成直角三角形。《周髀算經》並有“勾股各自乘，並而開方除之”的記載，說明當時已普遍使用了畢氏定理。畢氏定理是中國數學家的獨立發明，在中國早有記載。《周髀算經》還記載了矩的用途：“周公曰：大哉言數！請問用矩之道。商高曰：平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環矩以為圓，合矩以為方。”據此可知，當時善於用矩的商高已知道用相似關係的測量術。(抄自百度百科)

http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d203/20304.pdf